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quarta-feira, 19 de julho de 2017

Questão de operações com mercadorias da prova de Matemática da EPCAr-2018

Uma empresa de artigos de perfumaria oferece a seguinte modalidade na negociação de seus  produtos: “Qualquer pessoa que se cadastre como vendedor tem autonomia para estabelecer o preço de venda e recebe uma comissão sobre o lucro que conseguir.”
No mês de fevereiro, um vendedor recebeu uma caixa com vários frascos iguais de um perfume que era lançamento para o Dia das Mães, e teve duas semanas de prazo para efetuar as vendas e esgotar o estoque que estava sob sua responsabilidade.
Ao final da 1ª semana, verificou que restava apenas $\cfrac{1}{4}$ do estoque que recebera, sendo que, assim, ele já havia apurado $\cfrac{39}{40}$ do custo da caixa inteira de perfumes.
Na semana seguinte ele vendeu o restante dos frascos conservando o mesmo preço de venda.
Sabe-se que o vendedor recebe uma comissão de $ 45\%$  sobre o lucro que obtiver.
Neste caso, a cada $ R\$ 100,00$ que esse vendedor receber com suas vendas lhe dará direito a uma comissão cujo valor, em reais, está entre
a) $8$ e $10$ 
b) $10$ e $12$ 
c) $12$  e $14$
d) $14$ e $16$

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O lucro em uma operação é a diferença entre a receita e o custo.

Como o preço de venda é o mesmo na primeira e na segunda semanas, e chamando de $V$ a receita total de vendas nas duas semanas, então na primeira semana a receita foi $ \cfrac{3}{4}V$ e na segunda semana foi $\cfrac{1}{4}V$.
Seja $C$ o custo total da caixa de perfumes, então a receita de vendas na primeira semana, $ \cfrac{3}{4}V$, foi igual a $\cfrac{39}{40}C$. Assim, temos:

$ \cfrac{3}{4}V=\cfrac{39}{40}C \Leftrightarrow C=\cfrac{10}{13}V$

O lucro $L$ nas duas semanas é dado por $L=V-C=V- \cfrac{10}{13}V=\cfrac{3}{13}V$.
A comissão do vendedor é $45\%$ do lucro, então temos:

$comissão= 45\% \cdot L = \cfrac{45}{100} \cdot \cfrac{3}{13}V=\cfrac{135}{1300}V$.

Portanto, a uma venda $V$, corresponde uma comissão de $\cfrac{135}{1300}V$. Assim, a cada $ R\$ 100,00$ de vendas, a comissão será de

 $comissão=\cfrac{135}{1300}\cdot 100= \cfrac{135}{13}\approx10,4$,

que está entre $10$ e $12$ (alternativa b).

Se o seu browser não reconhece Latex, segue uma imagem desse problema.




Observação: O enunciado sofreu uma pequena adaptação para dar mais clareza e precisão.

Abraço e bom gagá!!!



terça-feira, 18 de julho de 2017

Questão de equações da prova de Matemática da EPCAr-2018

Considere a equação (I) na incógnita $x$ e a equação (II) na incógnita $y$, a seguir:

(I)  $ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$, com $m^2 \neq n^2$.

(II)  $ 2y^2+xy+8=0$

O valor de $x$ da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio nos números reais, então o conjunto mais amplo dos valores de $m$ que atendem esta condição é

a) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
b) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | - \cfrac{8}{5} \le m  \le \cfrac {8}{5} \right\} $
c) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
d) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  = \pm \cfrac {8}{5} \right\} $

RESOLUÇÃO: a

BIZU: Seja uma equação do 2º grau da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a \ne 0$. O seu discriminante é dado por $ \Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$. Assim, temos:

Se $\Delta < 0$, então a equação não possui raízes reais.
Se $ \Delta = 0$, então a equação possui uma raiz real dupla.
Se $ \Delta >0$, então a equação possui duas raízes reais distintas.

Vamos resolver a equação (I).

Observemos, inicialmente, que $m^2 \neq n^2 \Leftrightarrow m \ne \pm n$.

O mmc dos denominadores é $(m+n)(m-n)$. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:

$ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$ $ \Leftrightarrow x \cdot (m+n) -5m \cdot (m-n)= 2nx \cdot 1$

$ \Leftrightarrow xm+xn-5m^2+5mn=2nx$ $ \Leftrightarrow xm-xn=5m^2-5mn$

$ \Leftrightarrow x \cdot (m-n)=5m \cdot (m-n) \Leftrightarrow x=5m$


Substituindo $x=5m$ na equação (II), temos: $ 2y^2+5my+8=0$.

Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:

$ \Delta = (5m)^2-4\cdot2\cdot8=25m^2-64 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5}$

que aparece na alternativa a).


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Abraço e bom gagá!!!


segunda-feira, 17 de julho de 2017

Questão de análise combinatória da prova de Matemática da EFOMM-2017

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
d) 1920
e) 3840

RESOLUÇÃO: c

A palavra caravelas tem 5 consoantes e 4 vogais, sendo 1 letra “E” e 3 letras “A”.

Para que não haja duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas, o anagrama deve ser da forma:

consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante.

Dessa forma, as posições de vogais e consoantes no anagrama estão bem definidas. Basta, agora, permutar as 5 consoantes distintas entre si e as 4 vogais entre si, lembrando que, por serem 1 letra “E” e 3 letras “A”, é necessário utilizar permutação com elementos repetidos.


Portanto, a quantidade de anagramas que satisfazem as condições do enunciado é

$P_5 \cdot P_4^{1,3}=5! \cdot \cfrac{4!}{1! \cdot 3!}=120 \cdot 4=480.$


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k



Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 14 de julho de 2017

Questão de determinantes da prova de Matemática da EFOMM de 2017

Calcule o determinante da matriz $A$ de ordem $n$:

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right] $

a) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $
b) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2i-1 } $
c) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2^i } $
d) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2^{i-1} } $
e) $\displaystyle det\left( A \right) = 1 $


RESOLUÇÃO: a


BIZU: REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió permite reduzir a ordem do determinante no qual $a_{11} = 1$, o que pode ser obtido realizando trocas de filas ou colocando um escalar em evidência.

Regra Prática:
1º) Seja uma matriz de ordem $n$ com $a_{11} = 1$, suprimem-se a 1ª linha e a 1ª coluna.
2º) De cada elemento restante da matriz subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna, que foram suprimidas.
3º) Com as diferenças obtidas, constrói-se uma matriz de ordem $(n-1)$ cujo determinante é igual ao determinante original.

Vamos aplicar esse método para o cálculo do determinante a seguir, onde inicialmente foram trocadas as posições da 1ª e 2ª linhas e depois da 1ª e 3ª colunas para que tivéssemos $a_{11} = 1$:


$ \left| \begin{matrix}6 & 2 & 3 & 5 \\ -2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}-2& 3 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}\boxed{1}& 3 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & 5 \\ 7 & 2 & 3 & 9 \\ -2 & 15 & 0 & 3 \end{matrix} \right|=$            

$=\left| \begin{matrix}2-3\cdot3 & 6-3\cdot(-2)&5-3\cdot4 \\ 2-7\cdot3 & 3-7\cdot(-2) & 9-7\cdot4 \\ 15-(-2)\cdot3 & 0-(-2)\cdot(-2) & 3-(-2)\cdot4 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} -4 & 12 & -7 \\ -19 & 17 & -19 \\ 21 & -4 & 11 \end{matrix} \right| = -757$



Vamos aplicar a Regra de Chió para calcular o determinante da questão proposta.

$ det \left(A \right)=\left| \begin{matrix} \boxed{1} & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right|_{n\times n} =

\left| \begin{matrix}  2 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 0  \\  0 & 4 & 0 & 0 &  \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 6 &0 &  \cdots & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 8 &  \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 2n-2   \end{matrix} \right|_{n\times n} =$


              $=2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot \left( 2n-2 \right) = \displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $



Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 13 de julho de 2017

Questão de plano no $\mathbb{R}^{3}$ da prova de Matemática da EFOMM 2017

O volume de uma pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $  é:
a) $\cfrac{20}{3}$ u.v.
b) $\cfrac{50}{3}$ u.v.
c) $\cfrac{100}{3}$ u.v.
d) $100$ u.v.
e) $200$ u.v.

RESOLUÇÃO: c

BIZU: Os denominadores abaixo de cada uma das variáveis na equação segmentária do plano representam os pontos onde o plano cruza o eixo coordenado correspondente. Assim, um plano de equação segmentária $\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$ cruza o eixo $x$ no ponto de coordenadas $(a,0,0)$, o eixo $y$, no ponto de coordenadas $(0,b,0)$ e o eixo $z$, no ponto de coordenadas $(0,0,c)$.


O plano  $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $ está representado por sua equação geral e sua equação segmentária é dada por:

 $\pi :\space 5x-2y+4z=20 \Leftrightarrow \cfrac{x}{5}+ \cfrac{y}{-10}+\cfrac{z}{5}=1$

Isso implica que o plano $\pi$ corta os eixos $x$, $y$ e $z$ nos pontos de coordenadas $(4,0,0)$, $(0,-10,0)$ e $(0,0,5)$, respectivamente.

A pirâmide determinada pelo plano $\pi$  e os eixos coordenados está a representada na figura a seguir.



O volume dessa pirâmide é dado por $V_{O-ABC}=\cfrac{1}{3}S_{OAB}\cdot OC=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{4 \cdot 10}{2} \cdot 5= \cfrac{100}{3}$ u.v.


Abraço e bom gagá!!!

Questão de misturas da prova de Matemática da EPCAR - 2018

Até a primeira quinzena do mês de março de 2017, o combustível comercializado nos postos de nosso país era uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina. Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina. Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será
a) $ \cfrac{5} {9} $
b) $ \cfrac {5}{12}$
c) $ \cfrac{29}{75}$
d) $ \cfrac{31}{75}$

RESOLUÇÃO: c

Em um volume $V$ da primeira mistura, cuja relação etanol-gasolina é $1:3$, temos $\cfrac{V}{4}$ de etanol e $\cfrac{3V}{4}$ de gasolina.

Em um mesmo volume $V$ da segunda mistura, cuja relação etanol-gasolina é $4:9$, temos $\cfrac{4V}{13}$ de etanol e $\cfrac{9V}{13}$ de gasolina.

Juntando esses dois volumes, teremos uma nova mistura na qual a quantidade de etanol é $ \cfrac{V}{4}+\cfrac{4V}{13}=\cfrac{29V}{52}$ e a quantidade de gasolina é $ \cfrac{3V}{4}+\cfrac{9V}{13}=\cfrac{75V}{52}$.

Assim, nessa nova mistura a relação de etanol para gasolina será $ \cfrac{\frac{29V}{52}}{\frac{75V}{52}}=\cfrac{29}{75}$.

BIZU: Para descobrir os volumes de etanol e gasolina em cada uma das misturas, basta lançar mão das propriedades das razões e proporções. Vamos ver como isso é feito no caso de um volume $V$ da primeira mistura, na qual a relação etanol-gasolina é $1:3$. Seja $x$ o volume de etanol e $y$, o volume de gasolina, então temos:
$\cfrac{x}{1}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{x+y}{1+3}=\cfrac{V}{4}\Leftrightarrow x=\cfrac{V}{4}\quad e\quad y=\cfrac{3V}{4}$.
A partir dessa ideia, você consegue imaginar como encontrar esses volume de cabeça. Vamos fazer isso para o caso de um volume $V$ da segunda mistura, na qual a relação etanol-gasolina é $4:9$. Assim, o volume de etanol é $ \cfrac{4}{4+9}\cdot V=\cfrac{4V}{13}$ e o volume de gasolina é  $ \cfrac{9}{4+9}\cdot V=\cfrac{9V}{13}$. 

Abraço e bom gagá!!!

quarta-feira, 12 de julho de 2017

Questão de vetores da prova de Matemática da EFOMM-2017

Um paralelepípedo formado pelos vetores $ \overrightarrow { u } =\left( a,a,a \right) $, $ \overrightarrow { v } =\left( 2a,2a,3a \right) $ e $ \overrightarrow { w } =\left( 2a,a,a \right) $ com $a\in \mathbb{R}_{+} $ tem volume igual a 8. Determine o valor de a.
a) $1$
b) $2$
c) $\cfrac {3}{2}$
d) $3$
e) $ \cfrac { 5 }{ 2 } $

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O volume do paralelepípedo formado por três vetores não coplanares é igual ao módulo do produto misto desses vetores.

O produtos misto dos vetores $ \overrightarrow {u} $, $ \overrightarrow {v} $ e $ \overrightarrow {w} $ é dado por

$\left[ \overrightarrow { u } , \overrightarrow { v } , \overrightarrow { w }  \right] =\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } \times \overrightarrow { w } =\left| \begin{matrix} { a} & {a} & {a} \\ {2a} & {2a} & {3a} \\ {2a} & {a} & {a} \end{matrix} \right| = {a}^{3}$

O volume do paralelepípedo é $ V = \left| \left[ \overrightarrow { u } , \overrightarrow { v } , \overrightarrow { w }  \right] \right| = \left| {a}^{3} \right| = 8$.

Como $a\in \mathbb{R}_{+} $, então $ a = 2$.

Abraço e bom gagá!!!

Ps.: Essa questão é o meu primeiro teste digitando em Latex diretamente no blog.