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terça-feira, 19 de setembro de 2017

Exercícios sobre Teoria dos Números do IME

Nessa postagem encontram-se os exercícios sobre Teoria dos Números que apareceram nos vestibulares do Instituto Militar de Engenharia (IME) nos anos de 1982 a 2017, totalizando 32 questões resolvidas.



Abraço e bom gagá!!!


sábado, 16 de setembro de 2017

Exercícios sobre Função - EsPCEx 1994 a 2017

Nessa postagem encontra-se uma seleção das questões sobre função das provas do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) desde 1994 até 2017.




Está disponível também, no site clubedeautores.com.br, o livro X-MAT Volume 6, com todas as questões da EsPCEx resolvidas de 2009 a 2017 e também com exercícios complementares sobre função, progressões, logaritmos e geometria espacial. No total são 273 questões da EsPCEx resolvidas.

(clique no livro para ir para o site de venda)


Abraço e bom gagá!!!

quinta-feira, 31 de agosto de 2017

Provas do ITA 1976 a 2001 RESOLVIDAS

Hoje em dia, nos sites da maioria dos cursos que fazem gabarito comentado do vestibular do ITA, é possível encontrar as provas desde 2002. Vou colocar aqui algumas provas mais antigas que eu tenho (1976 a 2001, exceto 1981) . Observando, porém, que esse material não é de minha autoria e que eu estou postando aqui, pois eles não estão mais disponíveis nos sites de origem. O autor de cada um desses gabaritos comentados está identificado no nome do arquivo.

ITA 1976 - 1977 - 1978 - MAT - ETAPA

ITA 1979 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1980 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1982 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1983 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1984 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1985 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1986 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1987 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1988 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1989 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1990 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1991 - MAT-FIS-ING - ELITE

ITA 1992 - MAT-FIS - ANGLO

ITA 1993 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1994 - COMPLETO - ETAPA

ITA 1995 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1996 - COMPLETO - ANGLO

ITA 1997 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 1998 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 1999 - COMPLETO - OBJETIVO

ITA 2000 - COMPLETO - ETAPA

ITA 2001 - COMPLETO - ANGLO

A seguir está uma lista de sites onde você pode encontrar bons gabaritos comentados das provas mais recentes.

POLIEDRO RESOLVE

ETAPA RESOLVE

ANGLO RESOLVE

OBJETIVO - RESOLUÇÃO COMENTADA

PENSI - RESULTADOS E GABARITOS

ELITE - RESULTADOS

ARI DE SÁ - PROVAS COMENTADAS

ELITE CAMPINAS - GABARITOS E RESOLUÇÕES

FARIAS BRITO - VESTIBULAR COMENTADO

GGE - COBERTURA MÁXIMA

BERNOULLI RESOLVE

OLIMPO RESOLVE

Abraço e bom gagá!!!


quarta-feira, 30 de agosto de 2017

ITA 2002 - Corrida de bicicletas e o teorema de Bézout

A seguinte questão foi proposta na prova de Matemática do vestibular do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) de 2002.

O seguinte trecho de artigo de um jornal relata uma corrida beneficente de bicicletas: " Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mão nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida."
Com base no trecho acima, você conclui que
a) David ganhou a corrida.
b) Ralf ganhou a corrida.
c) Rubinho chegou em terceiro lugar.
d) Ralf chegou em segundo lugar,
e) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

Vamos apresentar agora o teorema de Bézout.

Permutação fundamental ou principal:
Sejam $n$ elementos distintos $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ e suas $n!$ permutações simples. A permutação fundamental ou principal é uma dessas permutações adotada como referência. Por exemplo, no casos dos $n$ primeiros números naturais, podemos adotar como permutação fundamental a ordenação original $1$, $2$, ..., $n$.

Inversão:
Dizemos que ocorre uma inversão quando dois elementos estão dispostos em ordem diferente daquela em que estão na permutação fundamental. Assim, considerando a permutação fundamental $1, \space 2,\space 3$, a permutação $3, \space 1, \space 2$ apresenta $2$ inversões, pois o $3$ está antes do $1$ e o $3$ está antes do $2$.
Naturalmente, a permutação fundamental não apresenta inversões.

Classe de uma permutação:
Uma permutação é de classe par se o número de inversões em relação à permutação fundamental é par.
Uma permutação é de classe ímpar se o número de inversões em relação à permutação fundamental é ímpar.
Duas permutações são ditas afins se têm a mesma classe e, caso contrário, são ditas não-afins.

Teorema de Bézout:
Uma permutação muda de classe quando se troca a posição de dois quaisquer de seus elementos.

Uma consequência imediata é que a classe da permutação não se altera após um número par de inversões e muda após um número ímpar de inversões.

RESOLUÇÃO DA QUESTÃO DO ITA:

A classificação inicial era Ralf, David e Rubinho, que vamos adotar como permutação fundamental, que é de classe par.
O enunciado afirma que Rubinho chegou logo após David. Assim, os possíveis resultados finais são Ralf, David e Rubinho ou David, Rubinho e Ralf.
O resultado final Ralf, David e Rubinho é a própria permutação fundamental e, portanto, de classe par.
O resultado final David, Rubinho e Ralf apresenta $2$ inversões em relação à permutação fundamental e, portanto, também é de classe par.
É informado que a 1ª e 2ª posições mudam $9$ vezes, enquanto a 2ª e 3ª posições mudam $8$ vezes.
Assim, houve $9+8=17$ trocas (inversões), o que implica que o resultado final deveria ser uma permutação de classe ímpar.
Mas os dois possíveis resultados finais são permutações de classe par, então não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.

RESPOSTA: e


Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 22 de agosto de 2017

IME 2017 - Questão 8 - Probabilidade e função

A questão a seguir foi a 8ª questão da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2016/2017. É uma questão interessante, pois envolve análise combinatória, probabilidade e conceitos de função.

Seja $A={1,2,3,4}$.
• Quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem?
• Entre as $256$ funções de $A$ para $A$, sorteiam-se as funções $f$ e $g$, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante?

RESOLUÇÃO:
Vamos, inicialmente, contar quantas funções de $A$ para $A$ têm exatamente $2$ elementos em seu conjunto imagem.

Devemos escolher $2$ dos $4$ elementos de $A$ para compor a imagem. Isso pode ser feito de $C_{4}^{2}=6$ maneiras.
Para cada escolha dessas, cada um dos $4$ elementos do domínio $A$ terá $2$ opções de imagem, totalizando $2^4=16$ possibilidades. Entretanto, $2$ casos devem ser excluídos, correspondentes aqueles em que todos os elementos do domínio $A$ têm como imagem o mesmo elemento, escolhido dentre as $2$ opções. Assim, para cada escolha de $2$ elementos, há $16-2=14$ possibilidades e o número de funções com $2$ elementos em seu conjunto imagem é $6\cdot14=84$.

Agora, devemos calcular a probabilidade da função composta $f \circ g$ ser uma função constante, onde $f \circ g$ são funções de $A$ para $A$, podendo ser iguais.

Note que $(f\circ g)(x)=f (g(x))$. Assim, devemos estudar a imagem de $f$, considerando como domínio a imagem de $g$.
Vamos separar a nossa análise em 4 casos:

1º) Se a imagem de $g$ possui $1$ elemento ($g$ é constante)
Teremos $4$ possibilidades de funções $g$.
Se $g$ é constante, então $f \circ g$ será constante para qualquer função $f$. Assim, temos $256$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $4 \cdot 256 = 1024$.

2º) Se a imagem de $g$ possui $2$ elementos.
Teremos $84$ possibilidades de funções $g$.
Na função $f$, os $2$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Os dois outros elementos do domínio de $f$ podem ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot 4^2=64$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $84 \cdot 64 = 5376$.

3º) Se a imagem de $g$ possui $3$ elementos.
A quantidade de funções $g$ é dada pelo total de funções menos aquelas que tem $4$, $2$ ou $1$ elemento na imagem, ou seja, $256-24-84-4=144$.
Na função $f$, os $3$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. O outro elemento do domínio de $f$ pode ter qualquer imagem. Assim, temos $4 \cdot 1 \cdot1 \cdot 4 =16$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $144 \cdot 16 = 2304$

4º) Se a imagem de $g$ possui $4$ elementos.
A quantidade de funções $g$ é  $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4!=24$.
Na função $f$, os $4$ elementos da imagem de $g$ devem possuir a mesma imagem. Assim, temos $4 \cdot 1^3 =4$ possibilidades de funções $f$.
Logo, o número de pares de funções é $24 \cdot 4 = 96$.

Portanto, o total de pares de funções nos quatro casos(número de casos favoráveis) é $1024+5376+2304+96=8800$.
O número de elementos do espaço amostral $\Omega$ é o total de pares de funções, ou seja, $\#(\Omega)=256^2$.

Logo, a probabilidade pedida é $P=\cfrac{8800}{256^2}=\cfrac{275}{2048}$.


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quarta-feira, 9 de agosto de 2017

IME 2011 - QUESTÃO 10 - Um determinante interessante

A questão a seguir foi a 10ª da prova de Matemática discursiva do concurso de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME) de 2010-2011.

Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos os valores de $a$, $b$ e $c$, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a equação $a^2+b^2+c^2=4$.

$\left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

RESOLUÇÃO:
No determinante $\Delta = \left| \begin{matrix} a+b & b+c & c+a \\ c+a & a+b & b+c \\b+c & c+a & a+b \end{matrix} \right|$, vamos somar as 2ª e 3ª colunas à 1ª coluna.


 $\Delta = \left| \begin{matrix} 2\cdot(a+b+c) & b+c & c+a \\ 2\cdot(a+b+c) & a+b & b+c \\2 \cdot(a+b+c) & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Agora, vamos colocar $2\cdot(a+b+c)$ em evidência na 1ª coluna.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 1 & a+b & b+c \\1 & c+a & a+b \end{matrix} \right|$

Vamos subtrair a 2ª linha da 3ª linha e, depois, a 1ª linha da 2ª linha.

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot \left| \begin{matrix} 1 & b+c & c+a \\ 0 & a-c & b-a \\0 & c-b & a-c \end{matrix} \right|$

Aplicando o teorema de Laplace com base na 1ª coluna, temos:

$\Delta = 2\cdot(a+b+c)\cdot 1 \cdot (-1)^{1+1} \left| \begin{matrix}  a-c & b-a \\ c-b & a-c \end{matrix} \right| = 2 \cdot (a+b+c) \cdot \left[ (a-c)^2 - (b-a)(c-b) \right] $

$ \quad= 2 \cdot (a+b+c) \cdot (a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)$

Fazendo $a+b+c=x$, temos:
 $x^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4+2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow ab+ac+bc=\cfrac{x^2-4}{2}$

Assim, o determinante será dado por: $\Delta = 2 \cdot x \cdot \left( 4-\left( \cfrac{x^2-4}{2} \right) \right) = -x^3+12x $

Seja $ P(x) = -x^3+12x$, então a sua primeira derivada é $ P'(x) =-3x^2+12$, que se anula para $x=\pm2$, e a sua segunda derivada é $P"(x) = -6x$. Como $ P"(-2) = 12 > 0$, então $P(-2)=-16$  é um ponto de mínimo local e, como $ P"(2) = -12 < 0$, então $P(2)=16$ é um ponto de máximo local.

Observe que, se $x$ pudesse variar em todo o conjunto dos reais, a imagem de $P(x)$ seria $]-\infty,+\infty[$ e o ponto $P(2)=16$ não seria um máximo absoluto.

Entretanto, $x=a+b+c$, com $a^2+b^2+c^2=4$ e $a$, $b$ e $c$ reais, o que limita os valores de $x$. Vamos estudar, então, em que intervalo $x$ pode variar. Para isso vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com os vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(a,b,c)$. Assim, temos:

$|u\cdot v|\le|u||v| \Rightarrow |1\cdot a +1\cdot b + 1\cdot c|\le \sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3} \sqrt{4}=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow |x|=|a+b+c| \le 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow -2\sqrt{3} \le x \le 2\sqrt{3}$

Portanto, o domínio de $x$ é $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$. Como $P(-2\sqrt{3})=P(2\sqrt{3})=0<16$, então $P(2)=16$ é um máximo absoluto, e podemos afirmar que o determinante é menor ou igual a $16$.


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sábado, 29 de julho de 2017

Prova de Matemática da EPCAr 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.




A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 8 anos de prova.




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Prova de Matemática da EsPCEx 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.


A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 7 anos de prova.



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quinta-feira, 27 de julho de 2017

Prova de Matemática da EFOMM 2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 9 anos de prova.



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terça-feira, 25 de julho de 2017

Questão de probabilidade da prova de Matemática da EFOMM-2017

Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro?
a) $\cfrac{3}{31}$
b) $\cfrac{1}{36}$
c) $\cfrac{1}{24}$
d) $\cfrac{1}{12}$
e) $\cfrac{1}{6}$

RESOLUÇÃO: e

O número de casos do espaço amostral $\Omega$ é a permutação dos $6$ alunos. Assim, temos:

$\#\Omega = 6!=720$.

Para que não haja conterrâneos lado a lado, temos os seguintes casos possíveis.

1º) Os paranaenses estão nas posições 1,3,5 ou 2,4,6. Nesses casos, não há como os cariocas ficarem
lado a lado, então basta permutar os outros 3 alunos. Assim, o número de casos aqui é $2\cdot3!\cdot3!=72$.

2º) Se os paranaenses estão na posição 1,3,6 ou 1, 4,6, um dos cariocas tem que ficar, necessariamente, entre os dois paranaenses mais próximos. Logo, o número de casos é $ 2\cdot3!\cdot2\cdot2=48$.  (dois casos, vezes a permutação dos paranaenses entre si, escolha de um dos dois cariocas para ficar separado e permutação do carioca e do alagoano).

Portanto, o número de casos favoráveis é $\#A= 72+ 48=120$.

Portanto, a probabilidade pedida é $ P(A)=\cfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}=\cfrac{120}{720}=\cfrac{1}{6}$.

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quarta-feira, 19 de julho de 2017

Questão de operações com mercadorias da prova de Matemática da EPCAr-2018

Uma empresa de artigos de perfumaria oferece a seguinte modalidade na negociação de seus  produtos: “Qualquer pessoa que se cadastre como vendedor tem autonomia para estabelecer o preço de venda e recebe uma comissão sobre o lucro que conseguir.”
No mês de fevereiro, um vendedor recebeu uma caixa com vários frascos iguais de um perfume que era lançamento para o Dia das Mães, e teve duas semanas de prazo para efetuar as vendas e esgotar o estoque que estava sob sua responsabilidade.
Ao final da 1ª semana, verificou que restava apenas $\cfrac{1}{4}$ do estoque que recebera, sendo que, assim, ele já havia apurado $\cfrac{39}{40}$ do custo da caixa inteira de perfumes.
Na semana seguinte ele vendeu o restante dos frascos conservando o mesmo preço de venda.
Sabe-se que o vendedor recebe uma comissão de $ 45\%$  sobre o lucro que obtiver.
Neste caso, a cada $ R\$ 100,00$ que esse vendedor receber com suas vendas lhe dará direito a uma comissão cujo valor, em reais, está entre
a) $8$ e $10$ 
b) $10$ e $12$ 
c) $12$  e $14$
d) $14$ e $16$

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O lucro em uma operação é a diferença entre a receita e o custo.

Como o preço de venda é o mesmo na primeira e na segunda semanas, e chamando de $V$ a receita total de vendas nas duas semanas, então na primeira semana a receita foi $ \cfrac{3}{4}V$ e na segunda semana foi $\cfrac{1}{4}V$.
Seja $C$ o custo total da caixa de perfumes, então a receita de vendas na primeira semana, $ \cfrac{3}{4}V$, foi igual a $\cfrac{39}{40}C$. Assim, temos:

$ \cfrac{3}{4}V=\cfrac{39}{40}C \Leftrightarrow C=\cfrac{10}{13}V$

O lucro $L$ nas duas semanas é dado por $L=V-C=V- \cfrac{10}{13}V=\cfrac{3}{13}V$.
A comissão do vendedor é $45\%$ do lucro, então temos:

$comissão= 45\% \cdot L = \cfrac{45}{100} \cdot \cfrac{3}{13}V=\cfrac{135}{1300}V$.

Portanto, a uma venda $V$, corresponde uma comissão de $\cfrac{135}{1300}V$. Assim, a cada $ R\$ 100,00$ de vendas, a comissão será de

 $comissão=\cfrac{135}{1300}\cdot 100= \cfrac{135}{13}\approx10,4$,

que está entre $10$ e $12$ (alternativa b).

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Observação: O enunciado sofreu uma pequena adaptação para dar mais clareza e precisão.

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terça-feira, 18 de julho de 2017

Questão de equações da prova de Matemática da EPCAr-2018

Considere a equação (I) na incógnita $x$ e a equação (II) na incógnita $y$, a seguir:

(I)  $ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$, com $m^2 \neq n^2$.

(II)  $ 2y^2+xy+8=0$

O valor de $x$ da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto solução distinto do conjunto vazio nos números reais, então o conjunto mais amplo dos valores de $m$ que atendem esta condição é

a) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
b) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | - \cfrac{8}{5} \le m  \le \cfrac {8}{5} \right\} $
c) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  \ge \cfrac {8}{5} \right\} $
d) $ \left\{ m\in \mathbb{R} | \space  m  = \pm \cfrac {8}{5} \right\} $

RESOLUÇÃO: a

BIZU: Seja uma equação do 2º grau da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a \ne 0$. O seu discriminante é dado por $ \Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$. Assim, temos:

Se $\Delta < 0$, então a equação não possui raízes reais.
Se $ \Delta = 0$, então a equação possui uma raiz real dupla.
Se $ \Delta >0$, então a equação possui duas raízes reais distintas.

Vamos resolver a equação (I).

Observemos, inicialmente, que $m^2 \neq n^2 \Leftrightarrow m \ne \pm n$.

O mmc dos denominadores é $(m+n)(m-n)$. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, vem:

$ \cfrac{x}{m-n}-\cfrac{5m}{m+n}=\cfrac{2nx}{m^2-n^2}$ $ \Leftrightarrow x \cdot (m+n) -5m \cdot (m-n)= 2nx \cdot 1$

$ \Leftrightarrow xm+xn-5m^2+5mn=2nx$ $ \Leftrightarrow xm-xn=5m^2-5mn$

$ \Leftrightarrow x \cdot (m-n)=5m \cdot (m-n) \Leftrightarrow x=5m$


Substituindo $x=5m$ na equação (II), temos: $ 2y^2+5my+8=0$.

Para que essa equação tenha conjunto solução não vazio nos reais, seu discriminante deve ser não-negativo. Assim, temos:

$ \Delta = (5m)^2-4\cdot2\cdot8=25m^2-64 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \cfrac{8}{5}\space ou\space m \ge \cfrac {8}{5}$

que aparece na alternativa a).


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segunda-feira, 17 de julho de 2017

Questão de análise combinatória da prova de Matemática da EFOMM-2017

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
d) 1920
e) 3840

RESOLUÇÃO: c

A palavra caravelas tem 5 consoantes e 4 vogais, sendo 1 letra “E” e 3 letras “A”.

Para que não haja duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas, o anagrama deve ser da forma:

consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante – vogal – consoante.

Dessa forma, as posições de vogais e consoantes no anagrama estão bem definidas. Basta, agora, permutar as 5 consoantes distintas entre si e as 4 vogais entre si, lembrando que, por serem 1 letra “E” e 3 letras “A”, é necessário utilizar permutação com elementos repetidos.


Portanto, a quantidade de anagramas que satisfazem as condições do enunciado é

$P_5 \cdot P_4^{1,3}=5! \cdot \cfrac{4!}{1! \cdot 3!}=120 \cdot 4=480.$


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k
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sexta-feira, 14 de julho de 2017

Questão de determinantes da prova de Matemática da EFOMM de 2017

Calcule o determinante da matriz $A$ de ordem $n$:

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right] $

a) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $
b) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2i-1 } $
c) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2^i } $
d) $\displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n }{ 2^{i-1} } $
e) $\displaystyle det\left( A \right) = 1 $


RESOLUÇÃO: a


BIZU: REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió permite reduzir a ordem do determinante no qual $a_{11} = 1$, o que pode ser obtido realizando trocas de filas ou colocando um escalar em evidência.

Regra Prática:
1º) Seja uma matriz de ordem $n$ com $a_{11} = 1$, suprimem-se a 1ª linha e a 1ª coluna.
2º) De cada elemento restante da matriz subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna, que foram suprimidas.
3º) Com as diferenças obtidas, constrói-se uma matriz de ordem $(n-1)$ cujo determinante é igual ao determinante original.

Vamos aplicar esse método para o cálculo do determinante a seguir, onde inicialmente foram trocadas as posições da 1ª e 2ª linhas e depois da 1ª e 3ª colunas para que tivéssemos $a_{11} = 1$:


$ \left| \begin{matrix}6 & 2 & 3 & 5 \\ -2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right|=-\left| \begin{matrix}-2& 3 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 7 & 9 \\ 0 & 15 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}\boxed{1}& 3 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & 5 \\ 7 & 2 & 3 & 9 \\ -2 & 15 & 0 & 3 \end{matrix} \right|=$            

$=\left| \begin{matrix}2-3\cdot3 & 6-3\cdot(-2)&5-3\cdot4 \\ 2-7\cdot3 & 3-7\cdot(-2) & 9-7\cdot4 \\ 15-(-2)\cdot3 & 0-(-2)\cdot(-2) & 3-(-2)\cdot4 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} -4 & 12 & -7 \\ -19 & 17 & -19 \\ 21 & -4 & 11 \end{matrix} \right| = -757$



Vamos aplicar a Regra de Chió para calcular o determinante da questão proposta.

$ det \left(A \right)=\left| \begin{matrix} \boxed{1} & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & 1 &  \cdots & 1  \\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &  \cdots & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 9 &  \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  \cdots & 2n-1   \end{matrix} \right|_{n\times n} =

\left| \begin{matrix}  2 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 0  \\  0 & 4 & 0 & 0 &  \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 6 &0 &  \cdots & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 8 &  \cdots & 0 \\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &  \ddots & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots & 2n-2   \end{matrix} \right|_{n\times n} =$


              $=2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dots \cdot \left( 2n-2 \right) = \displaystyle det\left( A \right) =  \prod _{ i=1 }^{ n-1 }{ 2i } $


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quinta-feira, 13 de julho de 2017

Questão de plano no $\mathbb{R}^{3}$ da prova de Matemática da EFOMM 2017

O volume de uma pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $  é:
a) $\cfrac{20}{3}$ u.v.
b) $\cfrac{50}{3}$ u.v.
c) $\cfrac{100}{3}$ u.v.
d) $100$ u.v.
e) $200$ u.v.

RESOLUÇÃO: c

BIZU: Os denominadores abaixo de cada uma das variáveis na equação segmentária do plano representam os pontos onde o plano cruza o eixo coordenado correspondente. Assim, um plano de equação segmentária $\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$ cruza o eixo $x$ no ponto de coordenadas $(a,0,0)$, o eixo $y$, no ponto de coordenadas $(0,b,0)$ e o eixo $z$, no ponto de coordenadas $(0,0,c)$.


O plano  $\pi :\space 5x-2y+4z=20 $ está representado por sua equação geral e sua equação segmentária é dada por:

 $\pi :\space 5x-2y+4z=20 \Leftrightarrow \cfrac{x}{5}+ \cfrac{y}{-10}+\cfrac{z}{5}=1$

Isso implica que o plano $\pi$ corta os eixos $x$, $y$ e $z$ nos pontos de coordenadas $(4,0,0)$, $(0,-10,0)$ e $(0,0,5)$, respectivamente.

A pirâmide determinada pelo plano $\pi$  e os eixos coordenados está a representada na figura a seguir.



O volume dessa pirâmide é dado por $V_{O-ABC}=\cfrac{1}{3}S_{OAB}\cdot OC=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{4 \cdot 10}{2} \cdot 5= \cfrac{100}{3}$ u.v.


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Questão de misturas da prova de Matemática da EPCAR - 2018

Até a primeira quinzena do mês de março de 2017, o combustível comercializado nos postos de nosso país era uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina. Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina. Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será
a) $ \cfrac{5} {9} $
b) $ \cfrac {5}{12}$
c) $ \cfrac{29}{75}$
d) $ \cfrac{31}{75}$

RESOLUÇÃO: c

Em um volume $V$ da primeira mistura, cuja relação etanol-gasolina é $1:3$, temos $\cfrac{V}{4}$ de etanol e $\cfrac{3V}{4}$ de gasolina.

Em um mesmo volume $V$ da segunda mistura, cuja relação etanol-gasolina é $4:9$, temos $\cfrac{4V}{13}$ de etanol e $\cfrac{9V}{13}$ de gasolina.

Juntando esses dois volumes, teremos uma nova mistura na qual a quantidade de etanol é $ \cfrac{V}{4}+\cfrac{4V}{13}=\cfrac{29V}{52}$ e a quantidade de gasolina é $ \cfrac{3V}{4}+\cfrac{9V}{13}=\cfrac{75V}{52}$.

Assim, nessa nova mistura a relação de etanol para gasolina será $ \cfrac{\frac{29V}{52}}{\frac{75V}{52}}=\cfrac{29}{75}$.

BIZU: Para descobrir os volumes de etanol e gasolina em cada uma das misturas, basta lançar mão das propriedades das razões e proporções. Vamos ver como isso é feito no caso de um volume $V$ da primeira mistura, na qual a relação etanol-gasolina é $1:3$. Seja $x$ o volume de etanol e $y$, o volume de gasolina, então temos:
$\cfrac{x}{1}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{x+y}{1+3}=\cfrac{V}{4}\Leftrightarrow x=\cfrac{V}{4}\quad e\quad y=\cfrac{3V}{4}$.
A partir dessa ideia, você consegue imaginar como encontrar esses volume de cabeça. Vamos fazer isso para o caso de um volume $V$ da segunda mistura, na qual a relação etanol-gasolina é $4:9$. Assim, o volume de etanol é $ \cfrac{4}{4+9}\cdot V=\cfrac{4V}{13}$ e o volume de gasolina é  $ \cfrac{9}{4+9}\cdot V=\cfrac{9V}{13}$. 

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quarta-feira, 12 de julho de 2017

Questão de vetores da prova de Matemática da EFOMM-2017

Um paralelepípedo formado pelos vetores $ \overrightarrow { u } =\left( a,a,a \right) $, $ \overrightarrow { v } =\left( 2a,2a,3a \right) $ e $ \overrightarrow { w } =\left( 2a,a,a \right) $ com $a\in \mathbb{R}_{+} $ tem volume igual a 8. Determine o valor de a.
a) $1$
b) $2$
c) $\cfrac {3}{2}$
d) $3$
e) $ \cfrac { 5 }{ 2 } $

RESOLUÇÃO: b

BIZU: O volume do paralelepípedo formado por três vetores não coplanares é igual ao módulo do produto misto desses vetores.

O produtos misto dos vetores $ \overrightarrow {u} $, $ \overrightarrow {v} $ e $ \overrightarrow {w} $ é dado por

$\left[ \overrightarrow { u } , \overrightarrow { v } , \overrightarrow { w }  \right] =\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } \times \overrightarrow { w } =\left| \begin{matrix} { a} & {a} & {a} \\ {2a} & {2a} & {3a} \\ {2a} & {a} & {a} \end{matrix} \right| = {a}^{3}$

O volume do paralelepípedo é $ V = \left| \left[ \overrightarrow { u } , \overrightarrow { v } , \overrightarrow { w }  \right] \right| = \left| {a}^{3} \right| = 8$.

Como $a\in \mathbb{R}_{+} $, então $ a = 2$.

Abraço e bom gagá!!!

Ps.: Essa questão é o meu primeiro teste digitando em Latex diretamente no blog.

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terça-feira, 13 de junho de 2017

Números Complexos AFA 1998 a 2017

Esse arquivo contém um resumo teórico sobre números complexos e as questões desse assunto dos vestibulares da AFA de 1998 a 2017, detalhadamente resolvidas. São 24 questões em 20 anos de prova.





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Um abraço e bom gagá!!!

segunda-feira, 5 de junho de 2017

Prova de Matemática AFA 2016-2017

Nessa postagem encontra-se a prova de Matemática do concurso de admissão à Academia da Força Aérea (AFA) de 2016-2017 detalhadamente resolvida e classificada por assunto.



A seguir encontra-se a classificação das questões por assunto dos últimos 8 anos de prova.


Observe que nas provas da AFA há uma distribuição bem homogênea de conteúdos.

Você pode adquirir a versão impressa do livro X-MAT: AFA 2010-2017 na livraria online clube de autores, clicando na imagem abaixo.


Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 2 de junho de 2017

Professor Lacaz Netto

A primeira vez que ouvi o nome do Professor Lacaz Netto foi porque ele dá nome ao auditório do ITA. Algum tempo depois, vasculhando "sebos", me deparei com dois livros seus. Nessa postagem vou disponibilizar o pdf desses livros para que mais estudantes possam continuar a ter acesso à sua obra.


Lições de Análise Combinatória - F. A. Lacaz Netto (em breve)

Quem quiser saber um pouco mais sobre esse notável professor, pode ler também o artigo abaixo que fala do seu acervo ou acessar o link da AEITA sobre ele.



Abraço e bom gagá!!!

quarta-feira, 24 de maio de 2017

Aulas ao Vivo Gratuitas - 07 de junho

Estarei ao vivo na quarta-feira, 07 de junho de 2017, no canal do YouTube do Promilitares, resolvendo exercícios dos seguintes assuntos:

19:30h - Logaritmos para AFA, EFOMM e EsPCEx. (material)
20:30h - Geometria plana - circunferência  para EPCAr. (material)

Durante a aula é disponibilizado o arquivo com a lista dos exercícios que serão resolvidos.
As aulas ficam disponíveis para você assistir até 12:00h de quinta-feira. Após esse horário, o acesso fica restrito aos assinantes do site.

A seguir estão os materiais que foram utilizados em aulas anteriores.

31 mai - Geom. Analítica - circunferência e cônicas para AFA, EFOMM e EsPCEx. (material)
31 mai - Trigonometria, lei dos senos e lei dos cossenos para EPCAr. (material)

24 mai - Cilindro e Cone para AFA, EFOMM e EsPCEx. (material)
24 mai - Divisibilidade, MMC e MDC para EPCAr . (material)

Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 19 de maio de 2017

Apostilas de Matemática da Turma IME-ITA do Curso Impacto

Nessa postagem estou disponibilizando em pdf as apostilas de Matemática do Curso Impacto, que eu utilizei em 1992, quando fiz turma IME-ITA. Apesar de antigo é um material de muita qualidade e com bastantes exercícios. Ótimo para pegar uma boa base para todos os concursos militares do 3º ano.






Estou disponibilizando essas apostilas considerando que o Curso Impacto já encerrou suas atividades há mais de 15 anos e que essas apostilas já têm pelo menos 25 anos, mas caso eu esteja desrespeitando o direito autoral de alguém, por favor, entre em contato que eu retiro esse material do ar imediatamente.

Caso você possua outras apostilas de Matemática do Impacto dessa época, por favor envie para madematica@gmail.com, que eu disponibilizo aqui.

Abraço e bom gagá!!!

terça-feira, 16 de maio de 2017

Retas e Planos no Espaço para a Escola Naval (EN)

Nessa postagem é apresentada de maneira sucinta a teoria de retas e planos no espaço e sua aplicação em 12 exercícios resolvidos de provas da Escola Naval (EN). Observe que para resolver esses exercícios são necessários também conhecimento de vetores no espaço e geometria espacial de posição.


Abraço e bom gagá!!!

Vetores no Espaço para a Escola Naval (EN)

Nessa postagem é apresentada de maneira sucinta a teoria de vetores no espaço e sua aplicação em 15 exercícios resolvidos de provas da Escola Naval. Na teoria são apresentados os conceitos de produto escalar, produto vetorial e produto misto, e suas principais propriedades.


Abraço e bom gagá!!!

sexta-feira, 12 de maio de 2017

Prova de Matemática da Escola Naval 2016-2017

Nesta postagem encontra-se a resolução da Prova de Matemática do Concurso de Admissão à Escola Naval (EN) de 2016-2017. Nesta prova, Cálculo Diferencial e Integral foi especialmente importante, aparecendo em 9 das 20 questões.



A seguir está a tabela com a incidência de assuntos nos últimos 8 anos de prova.


Para saber mais sobre o Concurso de Admissão à Escola Naval, leia a postagem "Dicas de Estudo para a Escola Naval (EN)".

Abraço e bom gagá!!!


sexta-feira, 28 de abril de 2017

Questões de Probabilidade da AFA, EN e EFOMM

Nesta postagem encontra-se uma lista com exercícios resolvidos de Probabilidade das últimas provas dos concursos de admissão à AFA, Escola Naval (EN) e EFOMM, totalizando 21 questões.


Esse assunto tem sido recorrente nos últimos concursos, sendo portanto muito importante na preparação para essas três provas.

Abraço e bom gagá!!!

quarta-feira, 5 de abril de 2017

AULAS AO VIVO GRATUITAS - 17 MAIO

Estarei ao vivo na quarta-feira, 17 de maio de 2017, no canal do YouTube do Promilitares, resolvendo exercícios dos seguintes assuntos:

19:30h - Integral com foco nos concursos da Escola Naval. (material)
20:30h - Questões de Áreas de Figuras Planas do Colégio Naval . (material)

Durante a aula é disponibilizado o arquivo com a lista dos exercícios que serão resolvidos.
As aulas ficam disponíveis para você assistir até 12:00h de quinta-feira. Após esse horário, o acesso fica restrito aos assinantes do site.
NOVIDADE: As aulas ao vivo do mês de maio terão acesso livre até os concursos do CN e da EN!

A seguir os materiais que foram usados em aulas anteriores:

10/mai - Derivada com foco nos concursos da Escola Naval. (material)

10/mai - Questões de Álgebra do Colégio Naval . (material)

03/mai - Limites com foco nos concursos da Escola Naval. (material)

03/mai - Aritmética do Colégio Naval 1978 a 1985 . (material)

26/abr - Vetores com foco nos concursos da Escola Naval e EFOMM. (material)

26/abr - Relações métricas na circunferência com foco nos concursos do Colégio Naval e EPCAr. (material)

19/abr - Geometria Plana com foco nos concursos de admissão ao nível superior. (material)

19/abr - Equações redutíveis ao 2º grau com foco nos concursos de admissão ao ensino médio. (material)

12/abr - Limites (teoria e exercícios) com foco na Escola Naval. (material)

12/abr - Relações métricas nos triângulos com foco no Colégio Naval. (material)

05/abr - Função modular com foco na Escola Naval. (material)

05/abr - Equação do 2º grau com foco no Colégio Naval. (material)


Abraço e bom gagá!!!

sábado, 1 de abril de 2017

Dicas de estudo para a Escola Naval (EN)

Nessa postagem vou apresentar algumas dicas que podem ser úteis para o estudante que está se preparando para a Prova de Matemática da Escola Naval.


Características da prova:
A prova de Matemática da Escola Naval tem um grau de dificuldade bem elevado, principalmente por cobrar assuntos que não são comumente apresentados nos cursos de Ensino Médio, como Cálculo Diferencial e Integral e Geometria Analítica no Espaço. Esses dois assuntos juntos em alguns anos responderam por quase metade da prova. Sendo assim, ter uma boa preparação nessas duas matérias é essencial para um bom resultado na prova.
A prova é composta por 20 questões de múltipla-escolha com 5 alternativas.
Ela costuma abordar todos os temas do programa, havendo uma concentração em Cálculo e Geometria Analítica, como citado acima. Uma peculiaridade das questões da EN é tratar de vários temas, muitas vezes não relacionados, na mesma questão. Por exemplo, você resolve um problema de progressões, com o resultado resolve uma equação exponencial e com o resultado dessa equação calcula um volume.
A maioria das questões tem grau de dificuldade mediano, mas eventualmente aparecem questões mais difíceis, principalmente de Cálculo.
A tabela a seguir apresenta a incidência de assuntos nas provas de 2010 a 2016.



Como se preparar:
É importante o estudante dissecar bem o conteúdo programático do concurso e planejar os seus estudos. Deve ser dada especial atenção aos assuntos que você tenha mais dificuldade, lembrando da importância dos dois assuntos citados acima.
Comece estudando a teoria e trabalhando exercícios mais simples. Aumente a dificuldade dos exercícios gradativamente até atingir o nível dos exercícios das provas e até um pouco além.
É essencial resolver muitos exercícios para adquirir maturidade e ser capaz de resolver questões com maior grau de dificuldade. Mas não desanime se você não conseguir resolver as questões do concurso. Isso é normal e, com o decorrer dos seus estudos, você vai atingir esse nível.
A resolução das provas anteriores é um bom auxílio, especialmente porque é difícil encontrar questões no estilo da Escola Naval. Resolver provas da EsPCEx, AFA e, principalmente, da EFOMM (posteriores a 2010) também é um bom exercício. Se você já estiver em um nível elevado na sua preparação pode se aventurar também pela provas do ITA e do IME.

Sugestões de material de apoio:
Há muito conteúdo gratuito de boa qualidade disponível na internet. Aqui no blog nós temos as provas de Matemática da EN resolvidas desde 2010 e algumas publicações temáticas (Cálculo, Geometria Analítica e Geometria Espacial).


Recomendo também a resolução de provas do IIT-JEE (vestibular para engenharia da Índia - disponível nessa postagem)
Há também bons livros que podem ajudar bastante nessa preparação. A seguir vou apresentar uma lista dos meus livros preferidos (alguns podem ser encontrados em pdf na internet).

Cálculo diferencial e integral: Calculus (M. Spivak); Um Curso de Cálculo (H. L. Guidorizzi); Diferential and Integral Calculus (N. Piskunov); Problems in Calculus of One Variable (I. A. Maron); e Mathematics for JEE Main & Advanced - Calculus (R. Gundala).
Geometria Plana: Solving Problems in Geometry (V. Litvinenko e outros - plana e espacial); Problemas de Geometría - Planimetría (I. Shariguin); Geometría - una visión de la planimetría (Lumbreras editores) Fundamentos de Matemática Elementar volume 9 (Dolce, Pompeo e Nicolau); Geometria I e II (Morgado, Wagner e M. Jorge); e Elementos da Matemática volume 2 (Marcelo Rufino).
Geometria Espacial: Problems in Solid Geometry (I. Sharygin); Fundamentos de Matemática Elementar volume 10 (Dolce e Pompeo); Geometría - una visión de la estereometría (Lumbreras editores); Coleção Matemática Moderna - Geometria Métrica (Guelli, Iezzi e Dolce); e Exercícios e Problemas de Geometria no Espaço (A. N. Serrão).
Geometria Analítica: Vetores e Geometria Analítica - Álgebra Linear (A. Righetto); Álgebra Linear e Geometria Analítica (A. S. Machado); Problemas de Geometria Analítica (Kléténic); Elementos de Geometria Analítica (N. Efimov); Álgebra Linerar e Geometria Analítica (P. S. Quilelli); Geometria Analítica Espacial (O. R. Vissoto Leite); Vectors & 3D Geometry (A. M. Agarwal); Mathematics for JEE Main & Advanced - Co-ordinate Geometry (R. Gundala); e Geometria Analítica (Aref e outros).
Trigonometria: Mathematics for JEE Main & Advanced - Trigonometry, Complex Numbers, Vector Algebra (R. Gundala); Fundamentos de Matemática Elementar volume 3 (Iezzi); Solving Problems in Algebra and Trigonometry (V. Litvinenko e A. Mordkovich); e Trigonometría (Lumbreras editores).
Números complexos e polinômios: Matemática em Nível IME/ITA (C. S. Guimarães); e Fundamentos de Matemática Elementar volume 6 (Iezzi).
Funções: Coleção Elementos da Matemática volume 1 (Marcelo Rufino); Fundamentos de Matemática Elementar volume 1 (Iezzi e Murakami); Functions and Graphs (Gelfand e outros); e Conjuntos e Funções (Aref e outros).
Matrizes, determinantes e sistemas: Coleção Elementos da Matemática volume 3 (Marcelo Rufino); Combinatória, Matrizes e Determinantes (Aref e outros); Matrices (Kapur e Singal); Introdução à Álgebra das Matrizes 2 (H. F. Pinto); e Theory and Problems of Matrices (F. Ayres Jr.). 
Análise combinatória e probabilidade: Análise Combinatória e Probabilidade (A. C. Morgado e outros); Combinatorics (Vilenkin); Prelúdio à Análise Combinatória (Bachx e outros); Problemas Resolvidos de Combinatória (Plínio e Estrada); e Cálculo de Probabilidades (O. Knopf).
Matemática básica: Elementos de Matemática volumes 0 e 1 (Marcelo Rufino); e Problemas Selecionados de Matemática (A. L. Santos).
Alguns dos livros acima referem-se a mais de um dos assuntos listados.

Considerações finais:
A aprovação no concurso só depende de você.
Ela é mais complicada para aqueles que têm menos base, mas é possível para todos.
Não desanime com a dificuldade inicial, com o tempo, mesmo aquelas coisas que parecem impossíveis, vão se tornando mais acessíveis. Quando mais você estudar, mais fáceis as coisas ficam e mais rápido você aprenderá novos assuntos.
Busque estudar com colegas aplicados. Isso permitirá com que você tenha ajuda quando tiver dificuldade e que você alcance uma maior compreensão dos assuntos ao ajudar seus colegas.
Não desista! Se você desistir, certamente não será aprovado. Se você continuar, certamente algo de bom estará reservado para você no futuro.

Caso você queira sugerir algum outro livro, compartilhar com seus colegas sua estratégia de preparação ou fazer alguma pergunta sobre esse tema, fique à vontade para comentar.

Abraço e bom gagá!!!